Định nghĩa không gian metric

Cho E là một tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ d : E × E :→ R {\displaystyle d:E\times E:\to \mathbb {R} } thỏa mãn:

1. d(x, y) ≥ 0, với mọi x,y ∈ {\displaystyle \in } E (tính phân biệt dương)
2. d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y
3. d(x, y) = d(y, x), với mọi x,y ∈ {\displaystyle \in } E (tính đối xứng)
4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với mọi x,y,z ∈ {\displaystyle \in } E (bất đẳng thức tam giác)

Khi đó d được gọi là khoảng cách hay một metric trên E và cặp (E,d) được gọi là một không gian mêtric. Không gian metric (E,d) thường được viết là E với d được hiểu ngầm khi không bị nhầm lẫn.[2]

Một số metric thông dụng trong không gian Rn

Cho x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} , y = ( y 1 , y 2 , … , y n ) ∈ R n {\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} d ( x , y ) = ∑ k = 1 n | x k − y k | {\displaystyle d(x,y)=\sum _{k=1}^{n}|x_{k}-y_{k}|} d ( x , y ) = [ ∑ k = 1 n ( x k − y k ) {\displaystyle d(x,y)=[\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})} p ] {\displaystyle ]} 1/p , khi p=2, metric này gọi là metric Euclide. d ( x , y ) = max 1 ≤ k ≤ n | x k − y k | {\displaystyle d(x,y)=\max _{1\leq k\leq n}|x_{k}-y_{k}|} d ( x , y ) = { 0 , x = y 1 , x ≠ y {\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0,&x=y\\1,&x\neq y\end{cases}}} gọi là metric rời rạc. d ( x , y ) = { 0 , x k = y k | x k − y k | , x k ≠ y k {\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0,&x_{k}=y_{k}\\|x_{k}-y_{k}|,&x_{k}\neq y_{k}\end{cases}}} Với mọi k ≥ 2 {\displaystyle k\geq 2} .

Metric trên không gian hàm từ tập A bất kỳ vào không gian metric (X,d)

Xác định bởi d ( f , g ) = sup x ∈ A d ( f ( x ) , g ( x ) ) {\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in A}d(f(x),g(x))} .

Trong đó f , g : A → ( X , d ) {\displaystyle f,g:A\to (X,d)} .

Metric trên không gian các hàm liên tục từ [a,b] vào R

Xác định bởi d ( f , g ) = ∫ a b | f ( x ) − g ( x ) | d x {\displaystyle d(f,g)=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|\,dx} .

Trong đó f , g : [ a , b ] → R {\displaystyle f,g:[a,b]\to \mathbb {R} } liên tục.

Quả cầu mở, quả cầu đóng

Cho X {\displaystyle X} là không gian metric và a ∈ X {\displaystyle a\in X} và r>0, theo định nghĩa [3]:

• B d ( a , r ) = { x ∈ X : d ( a , x ) < r } {\displaystyle B_{d}(a,r)=\{x\in X:d(a,x)<r\}} là quả cầu mở tâm a, bán kính r trong không gian metric (X,d).
• B d ′ ( a , r ) = { x ∈ X : d ( a , x ) ≤ r } {\displaystyle B'_{d}(a,r)=\{x\in X:d(a,x)\leq r\}} là quả cầu đóng tâm a, bán kính r trong không gian metric (X,d).

Xét các bổ đề sau:

Bổ đề

Cho (X,d) là không gian metric, nếu x ∈ X , r > 0 {\displaystyle x\in X,r>0} thì y ∈ B d ( x , r ) {\displaystyle y\in B_{d}(x,r)} sẽ có tồn tại δ r > 0 {\displaystyle \delta _{r}>0} sao cho:

B d ( y , δ r ) ⊂ B d ( x , r ) {\displaystyle B_{d}(y,\delta _{r})\subset B_{d}(x,r)} .

Chứng minh:

Đặt δ = r − d ( x , y ) {\displaystyle \delta =r-d(x,y)} , cần chứng minh B ( y , δ ) ⊂ B d ( x , r ) {\displaystyle B(y,\delta )\subset B_{d}(x,r)} Hay lấy z ∈ B d ( y , δ ) {\displaystyle z\in B_{d}(y,\delta )} bất kỳ, thì d ( y , z ) < δ {\displaystyle d(y,z)<\delta } Do đó d ( x , y ) + d ( y , z ) < d ( x , y ) + δ = d ( x , y ) + [ r − d ( x , y ) ] = r {\displaystyle d(x,y)+d(y,z)<d(x,y)+\delta =d(x,y)+[r-d(x,y)]=r} ⇒ d ( x , z ) < d ( x , y ) + d ( y , z ) < r {\displaystyle \Rightarrow d(x,z)<d(x,y)+d(y,z)<r} ⇒ z ∈ B d ( x , r ) ⇒ B d ( y , δ ) ⊂ B d ( x , r ) {\displaystyle \Rightarrow z\in B_{d}(x,r)\Rightarrow B_{d}(y,\delta )\subset B_{d}(x,r)}

Ví dụ về tập mở theo các metric trong R2

Cho x = ( x 1 , x 2 ) , y = ( y 1 , y 2 ) {\displaystyle x=(x_{1},x_{2}),y=(y_{1},y_{2})} và các metric sau:

d 1 ( x , y ) = | x 1 − y 1 | + | x 2 − y 2 | {\displaystyle d_{1}(x,y)=|x_{1}-y_{1}|+|x_{2}-y_{2}|} d 2 ( x , y ) = [ ( x 1 − y 1 ) {\displaystyle d_{2}(x,y)=[(x_{1}-y_{1})} 2 + ( x 2 − y 2 ) {\displaystyle +(x_{2}-y_{2})} 2 ] {\displaystyle ]} 1/2 d ∞ ( x , y ) = m a x { | x 1 − y 1 | , | x 2 − y 2 | } {\displaystyle d_{\infty }(x,y)=max\{|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|\}}

Khi đó các quả cầu mở tương ứng với các metric trên trong R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} lần lượt là: B d 1 ( 0 , 1 ) , B d 2 ( 0 , 1 ) , B d ∞ ( 0 , 1 ) {\displaystyle B_{d_{1}}(0,1),B_{d_{2}}(0,1),B_{d_{\infty }}(0,1)} như hình vẽ:

Topo sinh bởi metric

Định lý

Cho (X,d) là không gian metric, họ các quả cầu mở B = { B d ( a , r ) : a ∈ X , r > 0 } {\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{B_{d}(a,r):a\in X,r>0\}} là cơ sở của topo trên X.[4]

Chứng minh:

Điều cần chứng minh B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} là cơ sởVới mỗi x ∈ X {\displaystyle x\in X} được chứa trong một tập của B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} . Dễ thấy x ∈ B d ( x , r ) , ∀ r > 0 {\displaystyle x\in B_{d}(x,r),\forall r>0} Xét điều kiện thứ 2 cho một cơ sở được thỏa, cần chỉ ra rằng nếu x ∈ B 1 ∩ B 2 {\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}} và B 1 , B 2 ∈ B {\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {B}}} thì có tồn tại B 3 ∈ B {\displaystyle B_{3}\in {\mathfrak {B}}} sao cho x ∈ B 3 ⊂ B 1 ∩ B 2 {\displaystyle x\in B_{3}\subset B_{1}\cap B_{2}} .Lấy B 1 , B 2 {\displaystyle B_{1},B_{2}} là hai tập trong B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} , và giả sử x ∈ B 1 ∩ B 2 {\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}} . Khi đó theo bổ đề 1.2.1, tồn tại δ 1 , δ 2 > 0 {\displaystyle \delta _{1},\delta _{2}>0} sao cho B d ( x , δ 1 ) ⊂ B 1 {\displaystyle B_{d}(x,\delta _{1})\subset B_{1}} và B d ( x , δ 2 ) ⊂ B 2 {\displaystyle B_{d}(x,\delta _{2})\subset B_{2}} . Đặt δ = m i n { δ 1 , δ 2 } {\displaystyle \delta =min\{\delta _{1},\delta _{2}\}} . Khi đó x ∈ B d ( x , δ ) ⊂ B 1 ∩ B 2 {\displaystyle x\in B_{d}(x,\delta )\subset B_{1}\cap B_{2}} như yêu cầu.

Định nghĩa

Lấy (X,d) là không gian metric, topo sinh bởi cơ sở các quả cầu mở B = { B d ( a , r ) : a ∈ X , r > 0 } {\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{B_{d}(a,r):a\in X,r>0\}} được gọi là topo sinh bởi metric (còn gọi là topo metric).

Định lý

Cho (X,d) là không gian metric, một tập U ∈ X {\displaystyle U\in X} là mở trong topo sinh bởi metric d nếu và chỉ nếu với mỗi y ∈ U {\displaystyle y\in U} tồn tại δ > 0 {\displaystyle \delta >0} sao cho B d ( y , δ ) ⊂ U {\displaystyle B_{d}(y,\delta )\subset U} .

Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 tập

Cho X,Y là hai không gian metric và x ∈ X {\displaystyle {x\in X}} , A là tập con trong X.

d ( x , A ) = inf a ∈ A d ( x , a ) {\displaystyle d(x,A)=\inf _{a\in A}d(x,a)} được gọi là khoảng cách từ điểm x đến tập A theo đó d ( x , A ) = 0 {\displaystyle d(x,A)=0} khi và chỉ khi x ∈ c l ( A ) {\displaystyle x\in cl(A)} có thể kiểm chứng d ( x , A ) {\displaystyle d(x,A)} là metric và nó liên tục.

Khoảng cách Hausdorff

Ví dụ về khoảng cách Hausdorff

Cho X,Y là hai không gian metric và x ∈ X {\displaystyle {x\in X}} , A và B lần lượt là các tập con trong X,Y.

d H ( A , B ) = max { sup a ∈ A inf b ∈ B d ( a , b ) , sup b ∈ B inf a ∈ A d ( a , b ) } {\displaystyle d_{H}(A,B)=\max \left\{{\underset {a\in A}{\sup }}{\underset {b\in B}{\inf }}d\left(a,b\right),{\underset {b\in B}{\sup }}{\underset {a\in A}{\inf }}d\left(a,b\right)\right\}} được gọi là khoảng cách từ tập A đến tập B

Hay còn có thể viết rút gọn là:

d H ( A , B ) = max { sup a ∈ A d ( a , B ) , sup b ∈ B d ( b , A ) } {\displaystyle d_{H}(A,B)=\max \lbrace {\sup _{a\in A}d(a,B),\sup _{b\in B}d(b,A)\rbrace }}

Khoảng cách này cũng là một metric và được gọi là metric Hausdorff.

d H ( A , B ) = 0 {\displaystyle d_{H}(A,B)=0} khi và chỉ khi A ≡ B {\displaystyle A\equiv B}

Không gian metric tích

Không gian metric tích là không gian tích của tất cả các không gian metric, cụ thể:

Cho ( X 1 , d 1 ) , ( X 2 , d 2 ) , . . . , ( X m , d m ) {\displaystyle \left(X_{1},d_{1}\right),\left(X_{2},d_{2}\right),...,\left(X_{m},d_{m}\right)} là các không gian metric, định nghĩa ( X , d ) = ( X 1 × . . . × X m , d ( d 1 , . . . , d m ) ) {\displaystyle \left(X,d\right)=\left(X_{1}\times ...\times X_{m},d\left(d_{1},...,d_{m}\right)\right)} là không gian metric tích.

Cho x 1 , y 1 ∈ X 1 , . . . . , x m , y m ∈ X m {\displaystyle x_{1},y_{1}\in X_{1},....,x_{m},y_{m}\in X_{m}} .Đặt x = ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) {\displaystyle x=\left(x_{1},x_{2},...,x_{m}\right)} và y = ( y 1 , y 2 , . . . , y m ) ∈ X 1 × . . . × X m {\displaystyle y=\left(y_{1},y_{2},...,y_{m}\right)\in X_{1}\times ...\times X_{m}} thì

d ( x , y ) = d ( d 1 ( x 1 , y 1 ) , . . . , d m ( x m , y m ) ) {\displaystyle d\left(x,y\right)=d\left(d_{1}\left(x_{1},y_{1}\right),...,d_{m}\left(x_{m},y_{m}\right)\right)}

Ví dụCho { ( R , d k ) } k = 1 , . . , n ¯ {\displaystyle \left\{\left(\mathbb {R} ,d_{k}\right)\right\}_{k={\overline {1,..,n}}}} là các không gian metric, định nghĩa metric tích trên R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} như sau:

d ( x , y ) = ∑ k = 1 n [ 1 2 k ( d k ( x k , y k ) 1 + d k ( x k , y k ) ) ] {\displaystyle d\left(x,y\right)={\overset {n}{\underset {^{k=1}}{\sum }}}\left[{\dfrac {1}{2^{k}}}\left({\dfrac {d_{k}\left(x_{k},y_{k}\right)}{1+d_{k}\left(x_{k},y_{k}\right)}}\right)\right]} .

Kiểm tra được d ( x , y ) {\displaystyle d\left(x,y\right)} là metric trên R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}